Question

如圖，已已知AB圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求證：C是劣弧BD的中點；
（Ⅱ）求證：BF=FG．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明C是劣弧BD的中點，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據同角的余角相等，得到結論．
（II）由已知及（I）的結論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進而得到結論．
解答：解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圓O的直徑
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C為劣弧BD的中點（5分）
（II）∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可證：CF=GF
∴BF=FG（10分）
點評：本題考查的知識點圓周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根據AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關鍵．