Question

11．如圖，一張A4紙的長、寬分別為2$\sqrt{2}$a，2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P₁，P₂，P₃，P₄四點重合為一點P，從而得到一個多面體，關(guān)于該多面體的下列命題，正確的是①②③④．（寫出所有正確命題的序號）．
①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa²．

Answer 1

分析 利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以A，B，C，D為頂點的三棱錐，利用線面垂直，判定面面垂直，即可得出結(jié)論．

解答 解：長、寬分別為2$\sqrt{2}$a，2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，
使得P₁，P₂，P₃，P₄四點重合為一點P，從而得到一個多面體，則
①由于$（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}=4{a}^{2}$，∴該多面體是以A，B，C，D為頂點的三棱錐，正確；
②∵AP⊥BP，AP⊥CP，∴AP⊥平面BCD，∵AP?平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正確；
③與②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正確；
④該多面體外接球的半徑為$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，表面積為5πa²，正確．
故答案為①②③④．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．