Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=9•2^n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，若不等式S_n＞ka_n-1對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=9•2^n-1，確定數(shù)列的公比與首項，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯誤相減法求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-1，分離參數(shù)，求最值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a_n+1+a_n=9•2^n-1，
∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，
∴q=$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}}{{a}_{2}+{a}_{1}}$=$\frac{18}{9}$=2  
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴a_n=3•2^n-1．  n∈N^*．
（Ⅱ）b_n=na_n=3n•2^n-1．
∴S_n=3×1×2⁰+3×2×2¹+…+3（n-1）×2^n-2+3n×2^n-1，
∴$\frac{1}{3}$S_n=1×2⁰+2×2¹+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，
∴$\frac{2}{3}$S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-$\frac{1}{3}$S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n×2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴S_n=3（n-1）2ⁿ+3，
∵S_n＞ka_n-1對一切n∈N^*恒成立，
∴k＜$\frac{{S}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{3（n-1）{2}^{n}+4}{3•{2}^{n-1}}$=2（n-1）+$\frac{4}{3•{2}^{n-1}}$，
令f（n）=2（n-1）+$\frac{4}{3•{2}^{n-1}}$，
∴f′（n）=2+$\frac{8ln2}{3}$•（$\frac{1}{2}$）ⁿ＞0，
∴f（n）隨n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（1）=$\frac{4}{3}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．