Question

10．在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：（x-2）²+y²=4．
（1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）求圓C₁與C₂的公共弦的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （1）由x²+y²=ρ²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出圓C₁，C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，求出圓C₁，C₂交點(diǎn)直角坐標(biāo)為$（1，\;\;\sqrt{3}），\;\;（1，-\sqrt{3}）$，由此能求出圓C₁與C₂的公共弦的參數(shù)方程．

解答 解：（1）∵圓C₁：x²+y²=4，
∴C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2，
∵圓C₂：（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．…（4分）
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴圓C₁，C₂交點(diǎn)直角坐標(biāo)為$（1，\;\;\sqrt{3}），\;\;（1，-\sqrt{3}）$． …（7分）
故圓C₁與C₂的公共弦的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t（-\sqrt{3}≤t≤\sqrt{3}）\end{array}\right.$…（10分）
注：第（1）小題中交點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一；第（2）小題的結(jié)果中，若未注明參數(shù)范圍，扣（2分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩圓的公共弦的參數(shù)方程的求法，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．