Question

19．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=t，其前n項和為S_n，且滿足S_n+S_n+1=n²+2n，若對?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 n=1時，S₁+S₂=1²+2×1，得到a₂=3-2t，當(dāng)n≥2時，推導(dǎo)出a_n+a_n+1=2n+1，n≥2，由a₂+a₃=5，得到a₃=2t+2，由a₃+a₄=7，得到a₄=5-2t，再由對?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，列出不等式組，能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的首項a₁=t，其前n項和為S_n，且滿足S_n+S_n+1=n²+2n，
∴n=1時，S₁+S₂=1²+2×1，即a₁+a₁+a₂=3，
∴a₂=3-2t，
∵S_n+S_n+1=n²+2n，①
當(dāng)n≥2時，S_n-1+S_n=（n-1）²+2（n-1），②
①-②，得：a_n+a_n+1=2n+1，n≥2．
∴a₂+a₃=5，∴a₃=5-a₂=5-（3-2t）=2t+2，
a₃+a₄=7，∴a₄=7-a₃=7-（2t+2）=5-2t，
∵對?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}＞{a}_{2}}\\{{a}_{4}＞{a}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2t+2＞3-2t}\\{5-2t＞2t+2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}＜t＜\frac{3}{4}$，
∴實數(shù)t的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．