Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（1-a）x-alnx\;，\;a∈R$．
（1）若f（x）存在極值點為1，求a的值；
（2）若f（x）存在兩個不同零點x₁，x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，利用f（x）存在極值點為1，結合f'（1）=0，求出a．
（2）求出$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$，通過①當a≤0時，②當a＞0時，判斷函數(shù)的單調性求出函數(shù)的極值，所以當x=a時，f（x）取得極小值f（a），利用f（x）存在兩個不同零點x₁，x₂，f（a）＜0，作y=f（x）關于直線x=a的對稱曲線g（x）=f（2a-x），令h（x）=g（x）-f（x）=f（2a-x）-f（x），求出導數(shù)，利用函數(shù)的單調性，最值推出結果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，因為f（x）存在極值點為1，所以f'（1）=0，即2-2a=0，a=1，經檢驗符合題意，所以a=1．（4分）
（2）$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$
①當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
②當a＞0時，由f'（x）=0得x=a，
當x＞a時，f'（x）＞0，所以f（x）為增函數(shù)，當0＜x＜a時，f'（x）＜0，所f（x）為減函數(shù)，
所以當x=a時，f（x）取得極小值f（a）
又因為f（x）存在兩個不同零點x₁，x₂，所以f（a）＜0，即$\frac{1}{2}{a^2}+（1-a）a-alna＜0$
整理得$lna＞1-\frac{1}{2}a$，
作y=f（x）關于直線x=a的對稱曲線g（x）=f（2a-x），
令$h（x）=g（x）-f（x）=f（2a-x）-f（x）=2a-2x-aln\frac{2a-x}{x}$$h'（x）=-2+\frac{{2{a^2}}}{（2a-x）x}=-2+\frac{{2{a^2}}}{{-{{（x-a）}^2}+{a^2}}}≥0$所以h（x）在（0，2a）上單調遞增，
不妨設x₁＜a＜x₂，則h（x₂）＞h（a）=0，即g（x₂）=f（2a-x₂）＞f（x₂）=f（x₁），
又因為2a-x₂∈（0，a），x₁∈（0，a），且f（x）在（0，a）上為減函數(shù)，
故2a-x₂＜x₁，即x₁+x₂＞2a，又$lna＞1-\frac{1}{2}a$，易知a＞1成立，故x₁+x₂＞2．（12分）

點評 本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性等，考查學生解決問題的綜合能力．