考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出2a
n=a
n+1-2
n,由此能證明{
}是首項(xiàng)為
,公差為
的等差數(shù)列,從而可求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(2)利用放縮法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可證明.
解答:
(1)解:∵S
n=a
n+1-2
n+1+1,
∴a
n=S
n-S
n-1=(a
n+1-2
n+1+1)-(a
n-2
n+1),
整理,得2a
n=a
n+1-2
n,
∴
-
=
,
∵a
1=1
∴{
}是首項(xiàng)為
,公差為
的等差數(shù)列,
∴
=
,
∴a
n=n•2
n-1.
(2)證明:b
n=
=1-
,
∵2
n+1<(n+1)•2
n+2<2
2n+1,
∴1-
<1-
<1-
,
∴1-
<b
n<1-
,
∴n-(
+
+…+
)<T
n<n-3(
+
+…+
)
∴n-
[1-
()n]<T
n<n-
[1-
()n],
∴對一切正整數(shù)n,都有n-
<Tn<n-.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查等差數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列的求和,屬于中檔題.