Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2），等差數(shù)列{b_n}中，b₁=2，點P（b_n，b_n+1）在一次函數(shù)y=x+2的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得等比數(shù)列{a_n}的首項和公比都為2，等差數(shù)列{b_n}的首項和公差都為2，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2），
可得等比數(shù)列{a_n}的首項和公比都為2，
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ，n∈N*，
等差數(shù)列{b_n}中，b₁=2，點P（b_n，b_n+1）在一次函數(shù)y=x+2的圖象上，
可得b_n+1=b_n+2，
等差數(shù)列{b_n}的首項為2，公差為2，
可得b_n=2+2（n-1）=2n，n∈N*；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
則數(shù)列{c_n}前n項和T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
相減可得-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
化簡可得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，注意運用等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．