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8.已知函數(shù)f(x)=ln(x+x2+1)+x,則不等式f(x)+f(x2-2)>0的解集是(-∞,-2)∪(1,+∞).

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵f(x)=ln(x+x2+1)+x,
∴f(x)+f(-x)=ln(-x+x2+1)-x+ln(x+x2+1)+x=ln(f(x)=ln(x+x2+1)+x)(-x+x2+1
=ln(x2+1-x2)=ln1=0,
∴f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
當(dāng)x≥0時,f(x)為增函數(shù),即函數(shù)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),
則不等式等價為式f(x2-2)>-f(x)=f(-x),
即x2-2>-x,即x2+x-2>0,
得x>1或x<-2,
即不等式的解集為(-∞,-2)∪(1,+∞)

點評 本題主要考查不等式的求解,根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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