Question

【題目】已知數列的首項，其前n項和為，對于任意正整數，都有.

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列滿足.

①若，求證：數列是等差數列；

②若數列都是等比數列，求證：數列中至多存在三項.

Answer 1

【答案】（1）（2）①見證明；②見證明；

【解析】

（1）由可得，進而得到數列的通項公式；

（2）①由可得，利用待定系數法可得從而得證；②利用反證法證明即可.

（1）令，則由，得

因為，所以，

當時，，且當n=1時，此式也成立.

所以數列的通項公式為

（2）①【證法一】因為，

，

所以.

由得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以數列是等差數列.

【證法二】

因為

所以

所以.

所以，

所以，

記

，

兩式相減得，

所以，

所以，當時，，

由得，

所以，當時，，當n=1時，上式也成立，

所以，(iii)

所以數列是等差數列.

【證法三】

因為

所以，（i）

所以，（ii）

（i）-（ii）得，（iii）

所以，（iv）

（iii）-（iv）得，

所以.

由知.

所以，

所以數列是等差數列

②不妨設數列超過三項，令，

由題意，則有，

即，

代入，整理得 （*），

若p=q=1，則，與條件矛盾；

若，當n=1時，，①

當n=2時，，②

②÷①得，p=q，代入（*）得b=c，所以，與條件矛盾.

故這樣的數列至多存在三項.