Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|．
（Ⅰ）若對?x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求實數(shù)t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實數(shù)a，b滿足a²+b²=2M．證明：a+b≥2ab．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出|1-$\frac{1}{x}$|+|2-$\frac{1}{x}$|的最小值，求出M的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到$\sqrt{ab}≤1$以及$\frac{ab}{a+b}≤\frac{{\sqrt{ab}}}{2}$，從而證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：$f（x）≥tx?|x-1|+|2x-1|≥tx?|1-\frac{1}{x}|+|2-\frac{1}{x}|≥t$恒成立
$?t≤{（|1-\frac{1}{x}|+|2-\frac{1}{x}|）_{min}}$
∵$|1-\frac{1}{x}|+|2-\frac{1}{x}|≥|（1-\frac{1}{x}）-（2-\frac{1}{x}）|=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)$（1-\frac{1}{x}）（2-\frac{1}{x}）≤0$，即$\frac{1}{2}≤x≤1$時取等號，
∴t≤1，∴M=1．
（Ⅱ）證明：∵2=a²+b²≥2ab，∴ab≤1．
∴$\sqrt{ab}≤1$．（當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取等號）①
又∵$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$，∴$\frac{{\sqrt{ab}}}{a+b}≤\frac{1}{2}$．
∴$\frac{ab}{a+b}≤\frac{{\sqrt{ab}}}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取等號）②
由①、②得$\frac{ab}{a+b}≤\frac{1}{2}$．（當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取等號）
∴a+b≥2ab．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，是一道中檔題．