Question

【題目】某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗(yàn)960人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門(mén)制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)960次.方案②：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次）；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn).這樣，該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.

（1）設(shè)方案②中，某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列；

（2）設(shè).試比較方案②中，分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

(1)易得可能的取值為,再求分布列即可.

(2)根據(jù)(1)中的分布列,分別求得時(shí)的數(shù)學(xué)期望,再分析三種情況下需要化驗(yàn)的總次數(shù),從而得到最多可以減少的次數(shù)即可.

（1）設(shè)每個(gè)人的血呈陰性反應(yīng)的概率為,則.

所以個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為,呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為.

依題意可知所以X的分布列為：

（2）方案②中.

結(jié)合（1）知每個(gè)人的平均化驗(yàn)次數(shù)為：

.

所以當(dāng)時(shí),,此時(shí)960人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為662次,

時(shí),,此時(shí)960人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為580次,

時(shí),,此時(shí)960人需要化驗(yàn)的次數(shù)總為570次,

即時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多, 時(shí)次數(shù)居中, 時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少.

而采用方案①則需化驗(yàn)960次,

故在這三種分組情況下,相比方案①,當(dāng)時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少960-570=390次.