Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC邊上，且DE=1，將△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求證：AE⊥BD'；
（Ⅱ）求三棱錐A-BCD'的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AE于點(diǎn)O，推導(dǎo)出Rt△ABD～Rt△DAE，從而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能證明AE⊥平面OBD'．
（Ⅱ）由V_A-BCD'=V_D'-ABC，能求出三棱錐A-BCD'的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連接BD交AE于點(diǎn)O，依題意得$\frac{AB}{DA}=\frac{AD}{DE}=2$，
所以Rt△ABD～Rt△DAE，
所以∠DAE=∠ABD，所以∠AOD=90°，所以AE⊥BD，
即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，
OB，OD'?平面OBD'．
所以AE⊥平面OBD'．
解：（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍭D'E⊥平面ABCE，
由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，
所以O(shè)D'為三棱錐D'-ABC的高，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=1，所以$D'O=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
所以V_A-BCD'=V_D'-ABC=$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•D'O$=$\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×4×2}）×\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{15}$
即三棱錐A-BCD'的體積為$\frac{{8\sqrt{5}}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．