分析 (1)方案一:設(shè)此扇形所在的圓的半徑為r,則l=r•2θ,可得r=\frac{l}{2θ}.利用扇形面積計(jì)算公式可得S1.
(2)設(shè)OC=x,OD=y,利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得:l2=x2+y2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ,可得:xy≤\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ},即可得出.
(3)\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{tanθ}{θ},令f(θ)=tanθ-θ,求導(dǎo),可得f(θ)在(0,\frac{π}{2})上單調(diào)遞增.令tanθ0=θ0∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2}).對θ與θ0的大小關(guān)系分類討論即可得出.
解答 解:(1)方案一:設(shè)此扇形所在的圓的半徑為r,則l=r•2θ,∴r=\frac{l}{2θ}.
∴S1=\frac{1}{2}×l×\frac{l}{2θ}=\frac{{l}^{2}}{4θ}.
證明:(2)設(shè)OC=x,OD=y,
則l2=x2+y2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ,
可得:xy≤\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ},當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號.
∴養(yǎng)殖區(qū)的最大面積S2=\frac{1}{2}×\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}×sin2θ=\frac{{l}^{2}}{4tanθ};
解:(3)\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{tanθ}{θ},
令f(θ)=tanθ-θ,則f′(θ)=sec2θ-1=tan2θ>0,
∴f(θ)在(0,\frac{π}{2})上單調(diào)遞增.令tanθ0=θ0∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2}).
當(dāng)θ∈({θ}_{0},\frac{π}{2})時(shí),選取方案一;
當(dāng)θ=θ0時(shí),選取方案一或二都可以;
當(dāng)θ∈(0,θ0)時(shí),選取方案二.
點(diǎn)評 本題考查了扇形的面積計(jì)算公式、余弦定理、基本不等式的性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1丈3尺 | B. | 5丈4尺 | C. | 9丈2尺 | D. | 48丈6尺 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{5}{27} | B. | \frac{5}{16} | C. | \frac{5}{54} | D. | \frac{1}{9} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 無解 | B. | 只有一解 | C. | 有兩解 | D. | 解的個(gè)數(shù)不確定 |
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