Question

9．已知函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）+1（{ω＞0，0≤φ≤\frac{π}{2}}）$的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為π，且在$x=\frac{π}{6}$時取得最大值2，若$f（α）=\frac{9}{5}$，且$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，則$sin（{2α+\frac{2π}{3}}）$的值為（　　）

• A． $\frac{12}{25}$
• B． $-\frac{12}{25}$
• C． $\frac{24}{25}$
• D． $-\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由已知可求周期，利用周期公式可求ω，由x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值，結合范圍φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求φ，求得函數(shù)f（x）的解析式，由$f（α）=\frac{9}{5}$，可得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，可求范圍 $\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：∵若f（x）圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，
∴三角函數(shù)的周期T=2π，即T=$\frac{2π}{ω}$=2π，即ω=1，
則f（x）=sin（x+φ）+1，
當x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值，
即：sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
即：$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即：φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∵φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
則函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+1．
∵f（α）=sin（α+$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{9}{5}$，可得：sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，可得：$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$．
∴$sin（{2α+\frac{2π}{3}}）$=2sin（α+$\frac{π}{3}$）cos（α+$\frac{π}{3}$）=2×$\frac{4}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{24}{25}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了三角函數(shù)的圖象和性質，考查了三角函數(shù)化簡求值，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵，屬于中檔題．