Question

7．幾何體的俯視圖為一邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該幾何體的各個(gè)面中，面積最大的面的面積為（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{6}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個(gè)直三棱柱沿截面切去上面幾何體所剩下的四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由條件和面積公式求出棱長(zhǎng)，求出其中較大面的面積，比較出該幾何體的各個(gè)面中面積最大的面，即可得到答案．

解答 解：由三視圖知幾何體是：
一個(gè)直三棱柱沿截面ABC切去上面幾何體所剩下的四棱錐C-ABDE，
直觀圖如圖所示：B是棱的中點(diǎn)，
且三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高是2，
由勾股定理得，AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$，
∵梯形ABDE的面積S′=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3＞$\sqrt{6}$，
∴該幾何體的各個(gè)面中面積最大的面是平面ABDE，
最大的面的面積是3，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．