Question

15．橢圓x²+$\frac{y^2}{b^2}$=1（|b|＜1）的左焦點為F，A為上頂點，B為長軸上任意一點，且B在原點O的右側，若△FAB的外接圓圓心為P（m，n），且m+n＞0，橢圓離心率的范圍為（　�。�

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

Answer 1

分析 分別求出線段FB與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立解出圓心坐標P，利用m+n＞0，與離心率計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，B是右頂點
線段FB的垂直平分線為：x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$．
線段AB的中點（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}$）．
∵k_AB=-b．
∴線段AB的垂直平分線的斜率k=$\frac{1}$．
∴線段AB的垂直平分線方程為：y-$\frac{2}$=$\frac{1}$（x-$\frac{1}{2}$），
把x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$=p代入上述方程可得：y=$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$=n．
∵m+n＞0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$+$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$＞0．
化為：b＞$\sqrt{1-^{2}}$，又0＜b＜1，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜b＜1．
∴e=$\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-^{2}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
B為長軸上任意一點，且B在原點O的右側，結論同樣成立，
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、線段的垂直平分線方程、三角形外心性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．