Question

6．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，ccosA+$\sqrt{3}$csinA-b-a=0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可求sin（C-30°）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合C的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求C的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，進而利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，得$ccosA+\sqrt{3}csinA-b-a=0?sinCcosA+\sqrt{3}sinCsinA=sinB+sinA$，…（1分）
$?sinCcosA+\sqrt{3}sinCsinA=sin（C+A）+sinA$，…（2分）
$?\sqrt{3}sinC-cosC=1?sin（C-30°）=\frac{1}{2}$，…（4分）
?C-30°=30°，（150°舍去），
?C=60°．…（5分）
（Ⅱ）三角形的面積$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，…（6分）
由余弦定理，得1=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（8分）
又a²+b²≥2ab，
所以ab≤1，當且僅當a=b時等號成立．
所以，△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．