Question

2．已知變量a，b滿足b=2a+$\frac{3}{2}$，若點（m，n）在函數y=-$\frac{1}{2}$x²+3lnx上，則（a-m）²+（b-n）²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• C． 16
• D． 4

Answer 1

分析 （a，b）在直線上，（m，n）在曲線上，從而轉化為曲線上的點到直線距離的最小值的平方．

解答 解：（a-m）²+（b-n）的最小值是$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3lnx$與直線y=2x+$\frac{3}{2}$之間的最小距離的平方．
對$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3lnx$求導，y′=-x+$\frac{3}{x}$，
與y=2x+$\frac{3}{2}$平行的切線斜率為2=-$x+\frac{3}{x}$，解得x=1或x=-3（舍），
切點為（1，-$\frac{1}{2}$），切點到直線的距離$d=\frac{|2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，
故所求最小值為$（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}=\frac{16}{5}$
故選：A

點評 本題考查了轉化與化歸的思想、導數的幾何意義及點到直線的距離公式．