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2.已知變量a,b滿足b=2a+$\frac{3}{2}$,若點(m,n)在函數y=-$\frac{1}{2}$x2+3lnx上,則(a-m)2+(b-n)2的最小值為( 。
A.$\frac{16}{5}$B.$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$C.16D.4

分析 (a,b)在直線上,(m,n)在曲線上,從而轉化為曲線上的點到直線距離的最小值的平方.

解答 解:(a-m)2+(b-n)的最小值是$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3lnx$與直線y=2x+$\frac{3}{2}$之間的最小距離的平方.
對$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3lnx$求導,y′=-x+$\frac{3}{x}$,
與y=2x+$\frac{3}{2}$平行的切線斜率為2=-$x+\frac{3}{x}$,解得x=1或x=-3(舍),
切點為(1,-$\frac{1}{2}$),切點到直線的距離$d=\frac{|2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$,
故所求最小值為$(\frac{4}{\sqrt{5}})^{2}=\frac{16}{5}$
故選:A

點評 本題考查了轉化與化歸的思想、導數的幾何意義及點到直線的距離公式.

練習冊系列答案
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