Question

11．如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=$\frac{1}{2}$BC=1，E是底邊BC上的一點(diǎn)，且EC=3BE．現(xiàn)將△CDE沿DE折起到△C₁DE的位置，得到如圖2所示的四棱錐C₁-ABED，且C₁A=AB．
（Ⅰ）求證：C₁A⊥平面ABED；
（Ⅱ）若M是棱C₁E的中點(diǎn)，求直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AE，利用勾股定理的逆定理證明C₁A⊥AD，C₁A⊥AE，得出C₁A⊥平面ABED；
（2）根據(jù)等積法求出B到平面C₁DE的距離h，再計(jì)算BM，即可得出直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值$\frac{h}{BM}$．

解答 證明：（I）連接AE．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=$\frac{1}{2}$BC=1，EC=3BE，
∴BE=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{3}{2}$，CD=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．即C₁E=$\frac{3}{2}$，C₁D=$\sqrt{2}$，
∵C₁A=AB=1，
∴C₁A²+AD²=C₁D²，C₁A²+AE²=C₁E²，
∴C₁A⊥AD，C₁A⊥AE，
又AD?平面ABED，AE?平面ABED，AD∩AE=A，
∴C₁A⊥平面ABED．
（II）連接BD，則V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}$S_△BDE•C₁A=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{12}$，
∵S${\;}_{△{C}_{1}DE}$=S_△CDE=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1$=$\frac{3}{4}$，設(shè)B到平面C₁DE的距離為h，
則V${\;}_{B-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{C}_{1}DE}•h$=$\frac{h}{4}$，
∵V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=V${\;}_{B-{C}_{1}DE}$，∴h=$\frac{1}{3}$．
∵BE⊥AB，BE⊥C₁A，C₁A∩AB=A，
∴BE⊥平面C₁AB，
∴BE⊥BC₁，又M為C₁E的中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$C₁E=$\frac{3}{4}$．
∴直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值為$\frac{h}{BM}$=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間距離的計(jì)算，屬于中檔題．