【題目】如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面側(cè)面,,楔面是邊長為2的正三角形,點在側(cè)面的射影是矩形的中心,點在上,且

（1）證明：平面；

（2）求楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）做輔助線連接交于,連接,.根據(jù)平面,得到平面平面,又平面平面,則平面平面,

利用勾股定理計算出,再根據(jù),,,得,,則可證得平面.

（2）法一：向量法：建立如圖所示的空間直角坐標系,列出各點的坐標求出向量,.求出兩個平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值.

法二：幾何法：取的中點,連接,.即為楔面與側(cè)面所成二面角的平面角.求出、、各邊長度,即可求出,則得到楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值.

解：（1）證明：如圖,連接交于,連接,.

則是的中點,.

因為平面,所以平面平面,

又平面平面,

所以平面平面,

根據(jù)題意,四邊形和是全等的直角梯形,

三角形和是全等的等腰直角三角形,

所以,.

在直角三角形中,,

所以,,,

于是,,

所以,.

因為平面,,

所以平面.

（2）法一：向量法：以為坐標原點,,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,.

設(shè)平面的一個法向量為,

則,取,

平面的一個法向量為,

所以,

所以楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值為.

法二：幾何法：如圖,取的中點,連接,.

即為楔面與側(cè)面所成二面角的平面角.

在直角三角形中,,,

所以,

所以楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以原點為極點， 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

(Ⅱ)已知直線與曲線交于， 兩點，與軸交于點，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，且該橢圓的離心率為，

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程：

（Ⅱ）求過點的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若，求的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(多選)已知函數(shù),其中正確結(jié)論的是( )

A.當時,函數(shù)有最大值.

B.對于任意的,函數(shù)一定存在最小值.

C.對于任意的,函數(shù)是上的增函數(shù).

D.對于任意的,都有函數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若，，求函數(shù)的極值；

（2）若是函數(shù)的一個極值點，試求出關(guān)于的關(guān)系式（即用表示），并確定的單調(diào)區(qū)間；（提示：應注意對的取值范圍進行討論）

（3）在（2）的條件下，設(shè)，函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有一個“兩鼠穿墻題”，其內(nèi)容為：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢？各穿幾何？”如圖的程序框圖源于這個題目，執(zhí)行該程序框圖，若輸入x=20，則輸出的結(jié)果為（　�。�

A. 3B. 4C. 5D. 6

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐，為矩形，，，平面平面．

（1）證明：平面平面；

（2）若為中點，直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形，,,是正三角形，為的中點，平面平面．

（1）求證：平面；

（2）在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且對任意,都有，數(shù)列前n項的和.

（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值和；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求和的關(guān)系式；

（3），當時，求證: 是一個常數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案