Question

3．（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷的展開(kāi)式中x³的系數(shù)為（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． -7
• D． 7

Answer 1

分析 化（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷=[1+（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）]⁷，利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式T_r+1，求出（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）^r展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)即可．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷=[1+（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）]⁷ 的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）^r，
對(duì)于（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）^r，通項(xiàng)公式為：
T_m+1=${C}_{r}^{m}$•${（\sqrt{x}）}^{r-m}$•${（-\frac{2}{x}）}^{m}$=（-2）^m•${C}_{r}^{m}$•${x}^{\frac{r-3m}{2}}$，
令$\frac{r-3m}{2}$=3，得r=6+3m；
根據(jù)0≤m≤r≤7，r、m為自然數(shù)，求得m=0，r=6；
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$+1）⁷展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{7}^{6}$•（-2）⁰•${C}_{6}^{0}$=7．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式中通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．