Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=6，a₄+a₆=20．
（Ⅰ）求通項a_n；
（II）設(shè)b_n=$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出等差數(shù)列的首項和公差，由此能求出等差數(shù)列的通項公式．
（II）由已知求得數(shù)列{b_n}的通項公式，利用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為：a₁，公差為d，
∵a₃=6，a₄+a₆=20．
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{2{a}_{1}+8d=20}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n…，（4分）
（II）∵b_n=$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴T_n=$\frac{n}{2（n+1）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查利用“裂項法”求數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用，屬于中檔題．