Question

6．已知E（1，0），K（-1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足$|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{KE}|=\overrightarrow{PK}•\overrightarrow{EK}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)K的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x軸上方），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，且$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}=-8$，求△ABD的外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{PE}=（1-x，-y）$，$\overrightarrow{PK}=（-1-x，-y）$，$\overrightarrow{EK}=（-2，0）$，$\overrightarrow{KR}=（2，0）$．由P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足$|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{KE}|=\overrightarrow{PK}•\overrightarrow{EK}$．能求出點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程．
（2）設(shè)l的方程為x=my-1（m＞0）．將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合題意能求出△ABD的外接圓M的方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），$\overrightarrow{PE}=（1-x，-y）$，
$\overrightarrow{PK}=（-1-x，-y）$，$\overrightarrow{EK}=（-2，0）$，$\overrightarrow{KR}=（2，0）$．
∵$|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{KE}|=\overrightarrow{PK}•\overrightarrow{EK}$，
∴$2\sqrt{{{（1-x）}^2}+{y^2}}=2（x+1）$，
整理，得點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），
l的方程為x=my-1（m＞0）．
將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
由△＞0，解得m＞1，從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
x₁+x₂=（my₁-1）+$（m{y_2}-1）=4{m^2}-2$，${x_1}{x_2}=\frac{{{y_1}^2{y_2}^2}}{16}=1$．
∵$\overrightarrow{EA}=（{x_1}-1，{y_1}）$，$\overrightarrow{EB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}$=${x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+4=8-4{m^2}$．
∴8-4m²=-8，解得m=2，∴l(xiāng)的方程為x-2y+1=0．
設(shè)AB中點(diǎn)為（x₀，y₀），
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2{m^2}-1=7$，${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2m=4$，AB中垂線(xiàn)方程y-4=-2（x-7）．
令y=0得x=9，圓心坐標(biāo)（9，0），到AB的距離為$2\sqrt{5}$．
$|AB|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=4\sqrt{15}$．
圓的半徑$r=\sqrt{{{（2\sqrt{15}）}^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=2\sqrt{10}$，
△ABD的外接圓M的方程（x-9）²+y²=40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程式、圓的方程的求法，考查拋物線(xiàn)、圓的概念、性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．