Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）令，當(dāng)時(shí)，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析，（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類討論，可求函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）把代入可得，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可求的最大值，結(jié)合不等式的恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系可證．

（Ⅰ），，

，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，令可得，

當(dāng)時(shí)，解得，

令可得，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（Ⅱ），

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減．

取，，則，（1），

所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，

即，

所以當(dāng)，，當(dāng)，，，

故函數(shù)在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

由可得，

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，，

所以，

故，

由基本不等式可得，因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

又因?yàn)?/span> 即，

所以當(dāng)時(shí)，成立．