Question

4．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)共由三部分組成：①原材料費(fèi)每件50元；②職工工資支出7500+20x元；③電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為 x²-30x+600元（其中x為產(chǎn)品件數(shù)）．
（1）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；
（2）如果該產(chǎn)品是供不應(yīng)求的商品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為 Q（x）=1240-$\frac{1}{30}{x^2}$，試問當(dāng)產(chǎn)量處于什么范圍時(shí)，工廠處于生產(chǎn)潛力提升狀態(tài)（生產(chǎn)潛力提升狀態(tài)是指如果產(chǎn)量再增加，則獲得的總利潤(rùn)也將隨之增大）？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）等于三部分成本和，建立函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y元，根據(jù)總利潤(rùn)=總銷售額-總的成本求出總利潤(rùn)函數(shù)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)方法求解．

解答 解：（1）P（x）=50+$\frac{7500+20x}{x}$+$\frac{{x}^{2}-30x+600}{x}$=$\frac{8100}{x}$+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2$\sqrt{\frac{8100}{x}•x}$+40=220．當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{8100}{x}$=x，即x=90時(shí)，等號(hào)成立．
所以P（x）=$\frac{8100}{x}$+x+40．每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)為220 元．
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=-$\frac{1}{30}{x}^{3}-{x}^{2}+1200x-8100$，
f′（x）=-$\frac{1}{10}$（x-100）（x+120）
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，0＜x＜100，
所以當(dāng)產(chǎn)量處于{x|x∈N^*，且1≤x＜100}時(shí)，工廠處于生產(chǎn)潛力提升狀態(tài)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)方法，同時(shí)考查了建模的能力，屬于中檔題．