Question

已知點P是拋物線x²=4y上一個動點，過點作圓x²+（y-4）²=1的兩條切線，切點分別為M，N，則線段MN長度的最小值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：圓x²+（y-4）²=1的圓心C（0，4），半徑r=1．設P(x0，

x 2 0

4

)，可得|PC|=

x 2 0 +( x 2 0 4 -4)2

=

x 4 0 16 - x 2 0 +16

．
利用勾股定理可得|PM|=

|PC|2-1

=

x 2 0 16 - x 2 0 +15

，利用三角形的面積計算公式可得|MN|=2×

|PM||MC|

|PC|

，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：圓x²+（y-4）²=1的圓心C（0，4），半徑r=1．
設P(x0，

x 2 0

4

)，
∵|PC|=

x 2 0 +( x 2 0 4 -4)2

=

x 4 0 16 - x 2 0 +16

．
則|PM|=

|PC|2-1

=

x 2 0 16 - x 2 0 +15

，
∴|MN|=2×

|PM||MC|

|PC|

=2

1- 1 x 4 0 16 - x 2 0 +16

=2

1- 1 1 16 ( x 2 0 -8)2+12

，
當

x

2 0

=8時，|MN|取得最小值=

33

3

．
故答案為：

33

3

．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．