Question

17．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB上，且AE=2．
（1）求三棱錐C₁-A₁EB₁的體積；
（2）求異面直線C₁E與AD所成角的大小（用反三角值表示）．

Answer 1

分析 （1）三棱錐C₁-A₁EB₁的高C₁B₁=3，底面△A₁EB₁的面積${S}_{△{A}_{1}E{B}_{1}}$=$\frac{9}{2}$，由此能求出三棱錐C₁-A₁EB₁的體積．
（2）連結(jié)B₁E，由AD∥A₁D₁，B₁C₁∥A₁D₁，得到∠B₁C₁E是異面直線C₁E與AD所成的角，由此能求出異面直線C₁E與AD所成角．

解答 解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB上，且AE=2，
∴三棱錐C₁-A₁EB₁的高C₁B₁=3，
底面△A₁EB₁的面積${S}_{△{A}_{1}E{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{9}{2}$，
∴三棱錐C₁-A₁EB₁的體積：
${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}E{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}E{B}_{1}}×{C}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×3=\frac{9}{2}$．
（2）連結(jié)B₁E，∵AD∥A₁D₁，B₁C₁∥A₁D₁，
∴AD∥B₁C₁，
∴∠B₁C₁E是異面直線C₁E與AD所成的角，
在Rt△C₁B₁E中，
 C₁B₁=3，B₁E=$\sqrt{B{E}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∴tan$∠{B}_{1}{C}_{1}E=\frac{{B}_{1}E}{{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，∴∠B₁C₁E=arctan$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴異面直線C₁E與AD所成角為arctan$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．