Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x-e）（lnx-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若不同的兩點A（m，f（m）），B（n，f（n））滿足：lnm•lnn-ln（m•n）+2=0，試判定點P（e，f（e））是否在以線段AB為直徑的圓上？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的表達式，計算出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，從而判斷結論即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞），
對于f′（x）=lnx-$\frac{e}{x}$=0，
當0＜x＜e時，lnx＜1，-$\frac{e}{x}$＜-1，
∴f′（x）=lnx-$\frac{e}{x}$＜0，
當x＞e時，lnx＞1，-$\frac{e}{x}$＞-1，
∴f′（x）=lnx-$\frac{e}{x}$＞0，
即f（x）在（0，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
∴（x）_極小值=f（e）=0，無極大值；
（Ⅱ）若m=e，則（1-lnm）（1-lnn）=0，與條件（1-lnm）（1-lnn）=-1不符，
從而m≠e，同理可得n≠e，從而m≠n，
由上可得點A、B、P兩兩不重合，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（m-e，f（m））•（n-e，f（n））
=（m-e）（n-e）+（m-e）（n-e）（lnm-1）（lnn-1）
=（m-e）（n-e）（lnmlnn-lnmn+2）=0，
故$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，點A、B、P可構成直角三角形，
故P（e，f（e））在以線段AB為直徑的圓上．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及向量的應用，是一道中檔題．