Question

15．已知A，B為拋物線E：y²=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)O的兩點(diǎn)，△AOB是等邊三角形，其面積為48$\sqrt{3}$，則p的值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），由于|OA|=|OB|，可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．代入化簡(jiǎn)可得：x₁=x₂．由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)B、A關(guān)于x軸對(duì)稱．不妨設(shè)直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：設(shè)B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號(hào)，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)B、A關(guān)于x軸對(duì)稱．
不妨設(shè)直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯(lián)立y²=2px，解得B（6p，2$\sqrt{3}$p）．
∵面積為48$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•（4\sqrt{3}p）^{2}$=48$\sqrt{3}$，∴p=2
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．