Question

7．已知遞增數(shù)列{a_n}對(duì)任意n∈N*均滿足a_n∈N*，a_an=3n，記${b_n}={a_{2•{3^{n-1}}}}$（n∈N*），則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和等于（　�。�

• A． 2ⁿ+n
• B． 2ⁿ⁺¹-1
• C． $\frac{{{3^{n+1}}-3n}}{2}$
• D． $\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$

Answer 1

分析 利用數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，a_n∈N*，a_an=3n，通過(guò)對(duì)a₁=1、2、3分類討論，求得a₁=2，a₂=3，a₃=6，…，再由${b_n}={a_{2•{3^{n-1}}}}$（n∈N*），可進(jìn)一步求得b₁、b₂、b₃、b₄，…，從而猜想得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，繼而可得其前n項(xiàng)和．

解答 解：${a_{a_1}}=3⇒{a_1}≤3$，討論：
若${a_1}=1⇒{a_{a_1}}={a_1}=1$，不合；
若a₁=2⇒a₂=3；
若${a_1}=3⇒{a_{a_1}}={a_3}=3$，不合；
即a₁=2，a₂=3，${a_{a_2}}=6⇒{a_3}=6$，
所以${a_{a_3}}=9⇒{a_6}=9$，
所以${a_9}={a_{a_6}}=18$，${a_{18}}={a_{a_9}}=27$，${a_{27}}={a_{{a_{18}}}}=54$，${a_{54}}={a_{{a_{27}}}}=81$，
猜測(cè)${b_n}={3^n}$，所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和等于$\frac{{3-{3^{n+1}}}}{1-3}=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，求得a₁=2，a₂=3是關(guān)鍵，考查分類討論思想與歸納推理能力，屬于難題．