Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過M（2，1）的直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求直線l的參數(shù)方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用過M（2，1）的直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求直線l的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，求出圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+y²-4x-4y=0，整理可得${t}^{2}-\sqrt{2}t-7=0$，利用參數(shù)的幾何意義，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的值．

解答 解：（1）過M（2，1）的直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），即ρ=4sinθ+4cosθ
∴兩邊都乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ
可得圓C的普通方程是：x²+y²=4x+4y，即x²+y²-4x-4y=0；
（2）參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+y²-4x-4y=0，整理可得${t}^{2}-\sqrt{2}t-7=0$
設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-7，
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2+28}}{7}$=$\frac{\sqrt{30}}{7}$，

點(diǎn)評 本題著重考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程互化等知識點(diǎn)，屬于中檔題．