Question

8．甲袋中裝有5張獎券，其中3張10元的，2張20元的；乙袋中裝有5張獎券都是10元的，所有獎券外形一樣，現(xiàn)從甲袋中任取兩張放入乙袋，攪拌均勻后再從乙袋中任取兩張放入甲袋．
（Ⅰ）求甲袋獎券中有且僅有一張20元的概率；
（Ⅱ）求甲袋中獎券總額X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)從甲袋中取出的2張獎券中20元面值的有x張，從乙袋中取出的2張獎券中20元面值的有y張，該事件記為[x，y]，利用互斥事件概率加法公式能求出甲袋獎券中有且僅有一張20元的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為50，60，70，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)從甲袋中取出的2張獎券中20元面值的有x張，從乙袋中取出的2張獎券中20元面值的有y張，該事件記為[x，y]．
甲袋獎券中有且僅有一張20元的概率
P=P（[2，1]+[1，0]）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{10}{21}$．（5分）
（Ⅱ）X的可能取值為50，60，70．
P（X=50）=P（[2，0]）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{1}{21}$，
由（Ⅰ）得P（X=60）=$\frac{10}{21}$，
P（X=70）=P（[2，2]）+P（[1，1]）+P（[0，0]）
=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{7}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{10}{21}$．
∴X的分布列為

X	50	60	70
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{10}{21}$

數(shù)學(xué)期望EX=50×$\frac{1}{21}$+60×$\frac{10}{21}$+70×$\frac{10}{21}$=$\frac{450}{7}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、排列組合、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．