分析 (Ⅰ)利用查三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得f(x)的值域,根據(jù)f(x)的圖象和直線y=m在區(qū)間$[0,\frac{π}{3}]$上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合f(x)的圖象求得m的范圍.
解答 解:(Ⅰ)依題意得,$f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x+sin2x+1$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x+1=2sin(2x+\frac{π}{3})+1$,
故函數(shù)f(x)的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$;
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}(k∈Z)$,求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}(k∈Z)$,
∴函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12},kπ+\frac{π}{12}](k∈Z)$.
(Ⅱ)∵$0≤x≤\frac{π}{3}$,∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤π$,∴$0≤sin(2x+\frac{π}{3})≤1$,∴1≤f(x)≤3,
由函數(shù)g(x)=f(x)-m在區(qū)間$[0,\frac{π}{3}]$上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
可知f(x)=m在區(qū)間$[0,\frac{π}{3}]$內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根,
即y=f(x)圖象與y=m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
在區(qū)間$[0,\frac{π}{3}]$上,2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$,π],sin(2x+$\frac{π}{3}$)∈[0,1],
f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{3}$)+1∈[1,3],
結(jié)合圖象可知,當(dāng)$\sqrt{3}+1≤m<3$時(shí),兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[\sqrt{3}+1,3)$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的圖象,屬于中檔題.
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A. | $4+\frac{2π}{3}$ | B. | $4+\frac{{\sqrt{2}π}}{6}$ | C. | $2+\frac{2π}{3}$ | D. | $2+\frac{{\sqrt{2}π}}{6}$ |
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