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3.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+\frac{π}{6})+cos(2x-\frac{π}{6})+2sinxcosx+1
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)-m在區(qū)間[0,\frac{π}{3}]上有兩個不同的零點,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用查三角恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得f(x)的值域,根據(jù)f(x)的圖象和直線y=m在區(qū)間[0,\frac{π}{3}]上有兩個不同的交點,結(jié)合f(x)的圖象求得m的范圍.

解答 解:(Ⅰ)依題意得,f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x+sin2x+1
=sin2x+\sqrt{3}cos2x+1=2sin(2x+\frac{π}{3})+1
故函數(shù)f(x)的最小正周期為T=\frac{2π}{2}=π;
2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}(k∈Z),求得kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}(k∈Z),
∴函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-\frac{5π}{12},kπ+\frac{π}{12}](k∈Z)
(Ⅱ)∵0≤x≤\frac{π}{3},∴\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤π,∴0≤sin(2x+\frac{π}{3})≤1,∴1≤f(x)≤3,
由函數(shù)g(x)=f(x)-m在區(qū)間[0,\frac{π}{3}]上有兩個不同的零點,
可知f(x)=m在區(qū)間[0,\frac{π}{3}]內(nèi)有兩個相異的實根,
即y=f(x)圖象與y=m的圖象有兩個不同的交點.
在區(qū)間[0,\frac{π}{3}]上,2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3},π],sin(2x+\frac{π}{3})∈[0,1],
f(x)=2sin(2x+\frac{π}{3})+1∈[1,3],
結(jié)合圖象可知,當(dāng)\sqrt{3}+1≤m<3時,兩圖象有兩個不同的交點,
∴實數(shù)m的取值范圍是[\sqrt{3}+1,3)

點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的圖象,屬于中檔題.

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