Question

3．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x+\frac{π}{6}）+cos（2x-\frac{π}{6}）+2sinxcosx+1$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在區(qū)間$[0，\frac{π}{3}]$上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用查三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域，根據(jù)f（x）的圖象和直線y=m在區(qū)間$[0，\frac{π}{3}]$上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f（x）的圖象求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x+sin2x+1$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤π$，∴$0≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，∴1≤f（x）≤3，
由函數(shù)g（x）=f（x）-m在區(qū)間$[0，\frac{π}{3}]$上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
可知f（x）=m在區(qū)間$[0，\frac{π}{3}]$內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根，
即y=f（x）圖象與y=m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
在區(qū)間$[0，\frac{π}{3}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)$\sqrt{3}+1≤m＜3$時(shí)，兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[\sqrt{3}+1，3）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題．