Question

13．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），且 $\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$，
（1）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，可得|b|=1，又|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°可求得$\vec a•\vec b=-1$，從而可求得|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|；
（2）由（a+kb）⊥（2b-a），得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=0，可解得k=2．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，所以|b|=1，
又|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°
∴$\vec a•\vec b=-1$．…（3分）
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4+4×2×1×（-\frac{1}{2}）+1}$=1…（5分）
（2）由（a+kb）⊥（2b-a），
得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=0，即2k-4+（2-k）×2×1cos120°=0，
解得k=2…（10分）

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，考查理解與運算能力，屬于中檔題．