Question

18．已知函數(shù)f（x）=x（1+lnx）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若斜率為k的直線與曲線y=f'（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其中x₁＜x₂，求證：${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），求導(dǎo)數(shù)，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）$k=\frac{{f'（{x_2}）-f'（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，要證明${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$，即證${x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜{x_2}$，等價(jià)于$1＜\frac{{\frac{x_2}{x_1}-1}}{{ln\frac{x_2}{x_1}}}＜\frac{x_2}{x_1}$，令$t=\frac{x_2}{x_1}$（由x₁＜x₂，知t＞1），則只需證$1＜\frac{t-1}{lnt}＜t$，由t＞1，知lnt＞0，故等價(jià)于lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+2（x＞0），…（1分）
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{e^2}$，
當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{e^2}}）$時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e^2}，+∞}）$時(shí)，f'（x）＞0．
則f（x）在$（{0，\frac{1}{e^2}}）$內(nèi)遞減，在$（{\frac{1}{e^2}，+∞}）$內(nèi)遞增，…（2分）
所以當(dāng)$x=\frac{1}{e^2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e^2}}）=\frac{1}{e^2}（{ln\frac{1}{e^2}+1}）=-\frac{1}{e^2}$…（3分）
（Ⅱ）F（x）=ax²+lnx+2，$F'（x）=2ax+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}$（x＞0），…（4分）
當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；…（5分）
當(dāng)a＜0時(shí)，令F'（x）＞0，即2ax²+1＞0，解得$0＜x＜\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
令F'（x）＜0，即2ax²+1＜0，解得$x＞\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，…（6分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在$（{0，\sqrt{-\frac{1}{2a}}}）$內(nèi)單調(diào)遞增，在$（{\sqrt{-\frac{1}{2a}}，+∞}）$內(nèi)單調(diào)遞減．…（7分）
（Ⅲ）證明：$k=\frac{{f'（{x_2}）-f'（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，要證明${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$，
即證${x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}＜{x_2}$，…（8分）
等價(jià)于$1＜\frac{{\frac{x_2}{x_1}-1}}{{ln\frac{x_2}{x_1}}}＜\frac{x_2}{x_1}$，令$t=\frac{x_2}{x_1}$（由x₁＜x₂，知t＞1），
則只需證$1＜\frac{t-1}{lnt}＜t$，由t＞1，知lnt＞0，
故等價(jià)于lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）…（9分）
①設(shè)g（t）=t-1-lnt（t＞1），則$g'（t）=1-\frac{1}{t}＞0$（t＞1），
所以g（t）在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，所以t-1＞lnt；…（10分）
②設(shè)h（t）=tlnt-（t-1）（t＞1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），
所以h（t）在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
所以當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt-（t-1）＞g（1）=0，即tlnt＞t-1（t＞1）．…（11分）
由①②知（*）成立，所以${x_1}＜\frac{1}{k}＜{x_2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．