Question

13．如圖，已知梯形CDEF與△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，連接BC，BF．
（Ⅰ）若G為AD邊上一點(diǎn)，DG=$\frac{1}{3}$DA，求證：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得DA、DE、DC兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ED、DC、DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCF的一個(gè)法向量，
由平面法向量與$\overrightarrow{EG}$平行證明EG∥平面BCF；
（Ⅱ）把多面體ABCDEF的體積分解為兩個(gè)棱錐的體積求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵梯形CDEF與△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，∴AD⊥平面CDEF，
則AD⊥DC，又CD⊥DE，
∴以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ED、DC、DA所在直線為x，y，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，
且DG=$\frac{1}{3}$DA，
∴E（-4，0，0），G（0，0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），C（0，12，0），
F（-4，9，0），B（0，3，$4\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}=（0，9，-4\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BF}=（-4，6，-4\sqrt{3}）$．
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=9y-4\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-4x+6y-4\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（-1，\frac{4}{3}，\sqrt{3}）$．
$\overrightarrow{EG}=（4，0，\frac{4\sqrt{3}}{3}）$，∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0$．
∵EG?平面BCF，∴EG∥平面BCF；
（Ⅱ）解：連接BD，BE，
則V_ABCDEF=V_B-CDEF+V_B-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（9+12）×4×4\sqrt{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}×3$=$64\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，訓(xùn)練了利用空間向量證明線面平行，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．