Question

4．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的左右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若△ABF₁是以A為直角頂點的等腰三角形，則實數(shù)m的值為4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知丨AF₂丨=m，丨AF₁丨=2+丨AF₂丨=2+m，由等腰三角形的性質(zhì)即可求得4=$\sqrt{2}$（2+m），丨AF₂丨=m=2（$\sqrt{2}$-1），丨AF₁丨=2$\sqrt{2}$，由三角的面積公式，即可求得△AF₁F₂的面積．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1焦點在x軸上，a=1，2a=2，
設(shè)丨AF₂丨=m，由丨AF₁丨-丨AF₂丨=2a=2，
∴丨AF₁丨=2+丨AF₂丨=2+m，
又丨AF₁丨=丨AB丨=丨AF₂丨+丨BF₂丨=m+丨BF₂丨，
∴丨BF₂丨=2，又丨BF₁丨-丨BF₂丨=2，
丨BF₁丨=4，
根據(jù)題意丨BF₁丨=$\sqrt{2}$丨AF₁丨，即4=$\sqrt{2}$（2+m），m=2（$\sqrt{2}$-1），
丨AF₁丨=2$\sqrt{2}$，
△AF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AF₂丨•丨AF₁丨=$\frac{1}{2}$×2（$\sqrt{2}$-1）×2$\sqrt{2}$=4-2$\sqrt{2}$，
△AF₁F₂的面積4-2$\sqrt{2}$，
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，考查等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．