2.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sinωxsin(${\frac{π}{2}$+ωx)-cos2ωx-$\frac{1}{2}$(ω>0),其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$.
(I)求ω的值;
(II)討論函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)性.

分析 (I)利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=sin(2ωx-$\frac{π}{6}$)-1,由已知可求周期,利用周期公式可求ω的值.
(II)由(I)可得:f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-1,可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{11π}{6}$],利用正弦函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可得解.

解答 解:(I)$f(x)=\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx-1=sin(2ωx-\frac{π}{6})-1$,
因為圖象兩相鄰對稱軸間距為$\frac{π}{2}$,
所以T=π=$\frac{2π}{2ω}$,解得ω=1.
(II)由(I)可得:f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-1,
當x∈[0,π]時,2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{11π}{6}$],
當$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{2})時f(x)單調(diào)遞增,此時x∈[0,\frac{π}{3})$,
當$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{π}{2},\frac{3π}{2})時f(x)單調(diào)遞減,此時x∈[\frac{π}{3},\frac{5π}{6})$,
當$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{3π}{2},\frac{11π}{6}]時f(x)單調(diào)遞增,此時x∈[\frac{5π}{6},π]$,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為$[0,\frac{π}{3}),[\frac{5π}{6},π]$,單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{3},\frac{5π}{6})$.

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用,周期公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,考查了分類討論思想,屬于中檔題.

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