Question

13．點P到A（1，0）和直線x=-1的距離相等，且P到直線y=x的距離等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，這樣的點P共有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義，點P是在以A為焦點，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上，且拋物線軌跡方程為y²=4x，故可設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），再根據(jù)點到直線的距離公式得到關(guān)于a的方程，方程解的個數(shù)即點P的個數(shù)．

解答 解：∵點P到A（1，0）和直線x=-1的距離相等，
∴點P是在以A為焦點，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上，且拋物線軌跡方程為y²=4x
故設(shè)P（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），
∵且P到直線y=x的距離等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{|a-\frac{{a}^{2}}{4}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²-4a±4=0，
由a²-4a+4=0，得a=2，
由a²-4a-4=0，得a=$2±2\sqrt{2}$，
∴這樣的點P共有3個．
故選C

點評 本題考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，以及含絕對值的方程的解法，屬于中檔題．