Question

16．如圖，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作平面α的垂線交半球面于點(diǎn)A，過(guò)圓O的直徑CD作與平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點(diǎn)為B，該交線上的一點(diǎn)P滿足∠BOP=60°，則A，P兩點(diǎn)間的球面距離為$Rarccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意求出AP的距離，然后求出∠AOP，即可求解A、P兩點(diǎn)間的球面距離．

解答 解：半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作平面α的垂線交半球面于點(diǎn)A，過(guò)圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點(diǎn)為B，所以CD⊥平面AOB，
因?yàn)椤螧OP=60°，所以△OPB為正三角形，P到BO的距離為PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
E為BO的中點(diǎn)，AE=$\sqrt{{R}^{2}+\frac{{R}^{2}}{4}-2•R•\frac{R}{2}cos45°}$=$\sqrt{\frac{5-2\sqrt{2}}{4}}$R，
AP=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}R）^{2}+（\sqrt{\frac{5-2\sqrt{2}}{4}}R）^{2}}$=$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{2}}}{2}$R，
AP²=OP²+OA²-2OP•OAcos∠AOP，
∴（$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{2}}}{2}$R）²=R²+R²-2R•Rcos∠AOP，
∴cos∠AOP=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∠AOP=arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴A、P兩點(diǎn)間的球面距離為$Rarccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
故答案為：$Rarccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反三角函數(shù)的運(yùn)用，球面距離及相關(guān)計(jì)算，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．