Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，
（1）若以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，寫出直線l的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程；（2）設(shè)l與圓C相交于兩點(diǎn)A，B，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和．

Answer 1

分析 （1）由已知條件先求出直線l的參數(shù)方程，再求出直線l的普通方程，由此能求出直線的極坐標(biāo)方程．
（2）把圓C的參數(shù)方程化為普通方程，把直線參數(shù)方程代入x²+y²=4，得${t}^{2}+（\sqrt{3}+1）t-2=0$，由此能示出點(diǎn)P到A，B 兩點(diǎn)的距離之和．

解答 解：（1）∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=1+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，…（2分）
直線l的普通方程為：$\sqrt{3}x-3y+3-\sqrt{3}=0$，
所以極坐標(biāo)方程為$2ρcos（θ+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1=0$…（5分）
（2）圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為普通方程為x²+y²=4，
把直線$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入 x²+y²=4，得（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（1+$\frac{1}{2}t$）²=4，
∴${t}^{2}+（\sqrt{3}+1）t-2=0$，
t₁+t₂=$-（\sqrt{3}+1）$，t₁×t₂=-2，
則點(diǎn)P到A，B 兩點(diǎn)的距離之和$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{12+2\sqrt{3}}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的求法，考查點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．