Question

18．如圖所示，△ABC是邊長為2的正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且M為AE的中點，CE=CA=2BD．
（1）求證：DM∥平面ABC；
（2）求證：平面DEA⊥平面ECA；
（3）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理即可證明DM∥平面ABC；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面DEA⊥平面ECA；
（3）利用體積法建立方程即可求點E到平面ACD的距離

解答 證明：（1）過點M在△ABC中作MN∥CE，交AC于N，連接BN，
∵CE⊥平面AB，DB⊥平面ABC
∴CE∥DB
又∵CE=2BD=2，M為AE的中點
∴NM∥CE，NM=$\frac{1}{2}$CE
∴NM∥BD，NM=BD，
∴四邊形DMNB是平行四邊形
∴DM∥BN
又∵BN平面?ABC，DM?平面ABC
∴DM∥平面ABC…．（4分）
（2）∵CE⊥平面ABC　BN?平面ABC∴CE⊥BN　即BN⊥CE
又∵△ABC是邊長為2的等邊三角形且N為AC中點∴BN⊥AC
又∵AC∩CE=C　AC，CE?平面ACE∴BN⊥平面ACE
由第（1）問知：BN∥DM
∴DM⊥平面ACE  又∵DM?平面DEA
∴平面DEA⊥平面AEC          …．（8分）
（3）∵CE⊥平面ABC，AC?平面AB∴CE⊥AC
又∵CE=AC=2，∴${S}_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×2=2$
由第（1）、（2）問知：DM⊥平面ABC；DM=BN=$\sqrt{3}$
又∵DB⊥平面ABC，AB?平面ABC∴DB⊥AB
即在Rt△DBC中，CD=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$
∴在△ADC中，AD=CD=$\sqrt{5}$，AC=2
∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5-1}=2$            …（10分）
設(shè)點E到平面ACD的距離為h，
則　$\frac{1}{3}•{S}_{ACE}•DM=\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•h$，即　2-$\sqrt{3}$=2-h，∴h=$\sqrt{3}$
即點E到平面ACD的距離為$\sqrt{3}$           …..（12分）

點評 本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判斷以及點到平面的距離的計算，利用體積法是解決本題的關(guān)鍵．