Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-4x，若關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)根，且所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （2，4）
• B． （4，6）
• C． （2，6）
• D． （6，12）

Answer 1

分析 令g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，則g（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{a}{2}$對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可得4×$\frac{a}{2}$=4，從而解出a=2，然后化簡(jiǎn)g（x）=|f（x）|+|f（2-x）|，再根據(jù)圖象即可求出t的取值范圍

解答 令g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，則g（a-x）=g（x）
故y=g（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{a}{2}$對(duì)稱
又∵關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)根，且所有實(shí)根之和為4
∴4×$\frac{a}{2}$=4，得a=2
∴g（x）=|x²-4x|+|（2-x）²-4（2-x）|=|x（x-4）|+|（x-2）（x+2）|
=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4x-4，x≥4}\\{4x-4，2＜x＜4}\\{-2{x}^{2}+4x+4，0＜x≤2}\\{-4x+4，-2＜x≤0}\\{2{x}^{2}-4x-4，x≤-2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2（x-1）^{2}-6，x≥4}\\{4x-4，2＜x＜4}\\{-2（x-1）^{2}+6，0＜x≤2}\\{-4x+4，-2＜x≤0}\\{2（x-1）^{2}-6，x≤-2}\end{array}\right.$
作出y=g（x）的圖象如下

關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)根可轉(zhuǎn)化為y=g（x）與y=t的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)
故結(jié)合圖象可得：4＜t＜6，即t的取值范圍為（4，6）
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用以及含有絕對(duì)值的分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)還考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題