Question

14．已知雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過左焦點F₁作斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直線交雙曲線的右支于點P，且y軸平分線段F₁P，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求過焦點F₁（-c，0）的直線l的方程，進(jìn)而可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合幾何量之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，過焦點F₁（-c，0）的直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
∵直線l交雙曲線右支于點P，且y軸平分線段F₁P，
∴直l交y軸于點Q（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則x+c=2c，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，∴P點坐標(biāo)（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c），
代入雙曲線方程得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（\frac{2\sqrt{3}}{3}c）^{2}}{^{2}}$=1
又∵c²=a²+b²，∴c²=3a²，∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．