Question

2．若點(diǎn)P是△ABC的外心，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+λ$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，∠C=120°，則實(shí)數(shù)λ的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 如圖所示，利用點(diǎn)P是△ABC的外心，∠C=120°，可得|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=R，∠APB=120°．由于$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+λ$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=-λ$\overrightarrow{PC}$．兩邊做數(shù)量積可得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）²=λ²$\overrightarrow{PC}$²，展開相比較即可得出λ．

解答 解：如圖所示，

∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+λ$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=-λ$\overrightarrow{PC}$．，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）²=λ²$\overrightarrow{PC}$²，展開為$\overrightarrow{PA}$²+$\overrightarrow{PB}$²+2|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{PB}$|cos∠APB=λ²|$\overrightarrow{PC}$|²．
∵點(diǎn)P是△ABC的外心，∠C=120°，∴|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=R，∠APB=120°．
∴2R²-R²=λ²R²，化為λ²=1．
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+λ $\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，∴λ=-1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了向量的運(yùn)算和三角形外心的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．