Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=2x相切，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得f′（x）≥對任意x∈（1，4）恒成立，分離參數(shù)a，可得-a≤$\frac{（x+1）^{2}}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{x}$在（1，4）上的最小值得答案；
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，再由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值相等求得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$，
則f′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，
∴$\frac{1}{x}+\frac{a}{（x+1）^{2}}$≥0在x∈（1，4）上恒成立．
即-a≤$\frac{（x+1）^{2}}{x}$在x∈（1，4）上恒成立．
令g（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{x}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$．
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在（1，3）上為增函數(shù)，在（3，4）上為減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=4．
則a≥-4；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}$，
則$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}$=2
f（x₀）=lnx₀+$\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$=2x₀，②
聯(lián)立①，②解得：x₀=1，a=4．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，考查計(jì)算能力，屬中檔題．