Question

18．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（-1，-2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos45°}\\{y=-2+tsin45°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ•sinθ•tanθ=2a（a＞0），直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角的平方關(guān)系以及極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)的互化公式求解；
（2）結(jié)合直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和二次方程的韋達(dá)定理，求解即可．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos45°}\\{y=-2+tsin45°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程：x-y-1=0，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρsinθtanθ=2a（a＞0），
∴ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），
∴曲線C的普通方程：y²=2ax；
（2）∵y²=2ax；
∴x≥0，
設(shè)直線l上點(diǎn)M、N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，（t₁＞0，t₂＞0），
則|PM|=t₁，|PN|=t₂，
∵|PM|=|MN|，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$|PN|，
∴t₂=2t₁，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos45°}\\{y=-2+tsin45°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入y²=2ax得
t²-2$\sqrt{2}$（a+2）t+4（a+2）=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（a+2），
t₁t₂=4（a+2），
∵t₂=2t₁，
∴a=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化等知識(shí)．