Question

福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè)，現(xiàn)在福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計方案如下：①該福利彩票中獎率為50%；②每張中獎彩票的中獎獎金有5元，50元和150元三種；③顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為p，獲得50元獎金的概率為2%．
（1）假設(shè)某顧客一次性花50元購買10張彩票，求該顧客中獎的概率；
（2）設(shè)福彩中心賣出一張彩票獲得的資金為X元，求X的概率分布（用p表示）；
（3）為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)，求p的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)至少一張中獎為事件A，由此利用對立事件的概率計算公式能求出顧客中獎的概率．
（2）設(shè)福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為X元，X可以取5，0，-45，-145，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（3）由（2）X的期望為E（X）=5×0.5+0×（0.5-0.02-p）+（-45）×0.02+（-145）×p=1.6-145p，由此結(jié)合已知條件能求出當(dāng)0＜p＜

8

725

時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)．

解答： 解：（1）設(shè)至少一張中獎為事件A，
則顧客中獎的概率P（　�。〢）=1-0.5¹⁰=

1023

1024

．
（2）設(shè)福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為X元，
則X可以取5，0，-45，-145，
X的分布列為：

X	5	0	-45	-145
P	0.5	0.5-0.02-p	0.02	p

（3）由（2）X的期望為E（X）=5×0.5+0×（0.5-0.02-p）+（-45）×0.02+（-145）×p=1.6-145p，
∴福彩中心能夠籌得資金E（X）=1.6-145p＞0，即0＜p＜

8

725

，
所以當(dāng)0＜p＜

8

725

時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．