Question

15．已知等差數(shù)列{a_n }中，a₂+a₆=6，S_n 為其前n項(xiàng)和，S₅=$\frac{35}{3}$．
（1）求數(shù)列{a_n }的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用函數(shù)的單調(diào)性求解和的最小值即可．

解答 解�。�1）由a₂+a₆=6，得a₄=3，又由S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5a₃=$\frac{35}{3}$，得a₃=$\frac{7}{3}$，
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=\frac{7}{3}}\\{{a}_{1}+3d=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$．--------（7分）
（2）${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=n+\frac{n（n-1）}{3}=\frac{1}{3}（{n^2}+2n）$----------（10分）
因?yàn)椋?{S_n}=\frac{1}{3}{（n+1）^2}-\frac{1}{3}$，當(dāng)n≥1時，是單調(diào)遞增的，
所以，當(dāng)n=1時，S_n有最小值是S₁=1．---------（14分）

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列求和，通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的函數(shù)特征，考查計(jì)算能力．